terça-feira, 25 de março de 2014
Aula 37 - Cadeias alimentares (Ciências - Ensino fundamental)
- Aula de ciências ..
tema: cadeia alimentar !
segunda-feira, 24 de março de 2014
PORCENTAGEM - AULA 1 - AYRTON RESOLVE
5. Porcetagem .
A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem).
Matemática - Números inteiros aula 1
4.Números inteiros .
Os números inteiros são constituídos dos números naturais,1 incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3,−4 ...).1 Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero.2 Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um 
em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.
02 - Frações e números decimais - Matemática - Ens. Médio - Telecurso
3. Frações e números decimais .
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de 10. Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
1/10, 3/100, 23/100, 1/1000, 1/103
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira e uma parte decimal, separados por uma vírgula.
A fração 127/100 pode ser escrita na forma mais simples, como:
| 127 100 | = | 1,27 |
|---|
onde 1 representa a parte inteira e 27 representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração 127/100 pode ser decomposta na seguinte forma:
| 127 100 | = | 100+27 100 | = | 100 100 | + | 27 100 | = 1+0,27 = 1,27 |
|---|
A fração 8/10 pode ser escrita na forma 0,8, onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui observamos que este número decimal é menor do que 1 porque o numerador é menor do que o denominador da fração.
Aula 61 - Expressões algébricas (Matemática - Ensino fundamental)
2. Pensamento algébrico .
Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.
Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...
b) 1, 8, 27, 64, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:
Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.
Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ... |
Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?
Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.
Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.
Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.
Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.
Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.
Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.
Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?
Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte:
| Nº da fila | Último número da fila |
| 1 | 1 |
| 2 | 5 |
| 3 | 11 |
| 4 | 19 |
| ... | ... |
Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:
1 = 1 x 2 - 1
5 = 2 x 3 - 1
11 = 3 x 4 - 11
19 = 4 x 5 - 1
Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.
Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.
Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 |
Aula 61 - Expressões algébricas (Matemática - Ensino fundamental)
2. Pensamento algébrico .
Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.
Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...
b) 1, 8, 27, 64, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:
Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.
Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ... |
Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?
Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.
Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.
Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.
Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.
Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.
Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.
Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?
Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte:
| Nº da fila | Último número da fila |
| 1 | 1 |
| 2 | 5 |
| 3 | 11 |
| 4 | 19 |
| ... | ... |
Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:
1 = 1 x 2 - 1
5 = 2 x 3 - 1
11 = 3 x 4 - 11
19 = 4 x 5 - 1
Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.
Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.
Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 |
Aula 61 - Expressões algébricas (Matemática - Ensino fundamental)
2. Pensamento algébrico .
Actividades que consigam levar os resolvedores a investigar o elemento que dê continuidade a um padrão ou uma regularidade, de natureza geométrica ou numérica, que lhe seja apresentada, costumam ser bastante motivadoras ao nível da recreação matemática.
Sequências numéricas, como as seguintes, costumam ser muitas vezes utilizadas para este tipo de objectivo:
a) 1, 2, 4, 8, 16, 32,...
b) 1, 8, 27, 64, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, 21, ...
d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Independentemente de estarmos perante os números quadrados, ou cúbicos, ou triangulares ou de fibonacci, ou perante qualquer regularidade geométrica, como as seguintes, o resolvedor é tentado a encontrar ou investigar o termo que lhes dá continuidade:
Ao nível da sala de aula seria muito importante que os alunos fossem solicitados a desenvolver o seu pensamento algébrico, isto é, a desenvolver a sua capacidade de estimação no sentido de se aventurarem na descoberta da generalização ou na procura da lei geral que sustenta ou está na base de determinadas regularidades ocorrerem.
Tentemos descobrir qual o último número existente na 40ª fila do triângulo numérico seguinte:
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ... |
Que tipo de abordagem esta interessante tarefa suscita?
Uma primeira apreciação é a seguinte: trata-se de um triângulo formado exclusivamente por números ímpares. Logo, o número a descobrir também será originado pela seguinte lei geral: 2n - 1, sendo "n" um número natural.
Outra ilação interessante é a de que o número de elementos existentes em cada linha coincide com o número da linha. Logo, na 40ª linha haverá 40 números ímpares.
Sabe-se, também, que se o triângulo só tivesse uma linha, este seria formado apenas por 1 número; se tivesse só duas linhas já teria 3números; se tivesse três linhas já teria 6 números; se tivesse apenas quatro linhas teria 10 números. Logo, será legítimo questionarmo-nos acerca de quantos números existirão num triângulo deste tipo formado por quarenta linhas.
Note-se que os números assinalados acima: 1, 3, 6, 10, ... fazem parte de uma interessante sequência numéria, tantas vezes já abordada neste blog - os números triangulares.
Como sabemos, pela reflexão em artigos anteriores, a lei que gera este tipo de números figurados é a seguinte (n2 + n) : 2. Logo, se substituirmos o "n" por 40, dar-nos-á a quantidade de números ímpares existentes num triângulo deste tipo, formado por quarenta linhas. Sendo assim, (402 + 40) : 2 = 820. Conclui-se, pois, que existirão 820 números ímpares. Esta conclusão ser-nos-á muito útil, pois ficamos a saber que o número a investigar será o 820º número ímpar. Sendo assim, basta-nos substituir o "n" por 820 na fórmula que gera os números ímpares: 2 x 820 - 1 = 1639.
Em princípio, o último número existente na 40ª fila será o 1639.
Haverá outras abordagens menos morosas a este desafio?
Ora a nossa atenção poderia ter ficado apenas na tentativa de relacionar o número de cada fila com o último número dessa fila, pois é isso que nos é solicitado. A ser assim, observemos a tabela seguinte:
| Nº da fila | Último número da fila |
| 1 | 1 |
| 2 | 5 |
| 3 | 11 |
| 4 | 19 |
| ... | ... |
Note-se que conseguiremos obter cada valor da coluna da direita se multiplicarmos o respectivo valor da coluna da esquerda pelo seu sucessor e ao produto encontrado retirarmos uma unidade:
1 = 1 x 2 - 1
5 = 2 x 3 - 1
11 = 3 x 4 - 11
19 = 4 x 5 - 1
Logo, se o número 40 (40ª fila) for multiplicado por 41 (seu sucessor) e ao produto obtido for retirada uma unidade, obter-se-á, novamente, o valor 1639. De facto, 40 x 41 - 1 = 1639.
Confirma-se, pois, que há uma lei geral capaz de gerar o último número de cada fila, conhecendo-se apenas o número da fila a que esse número pertence: n x (n + 1) - 1, sendo "n" o número da fila.
Qual será o último número da 40ª fila do seguinte novo triângulo?
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Matemática básica - Potenciação,radiciação,mmc,mdc aula 01
Potenciação e radiciação .
Neste capitulo abordaremos o cálculo de números sob a forma de potencias.
Com a evoluçao tecnologica este tipo de calculos está praticamente reservado ao uso de calculadoras cientificas; mas nao se deixe levar por esta tendencia só vai limitar seus conhecimentos.
Vamos supor que se esquece da calculadora ou que o calculo é tão grande que precisa saber analisar os seus resultados continuamente ou ainda que o seu exercicio parte da analise de um grafico de uma potencia e que precisa chegar a função potencia.
Bom, a calculadora não ajuda muito!!!
Bom, a calculadora não ajuda muito!!!
Regras:
Definições e Demonstrações:
Raiz de 1 quociente e quociente de 2 raizes: o quociente de 2 radicais do mesmo indice, é o radical do mesmo indice cujo o radicando é quociente dos radicandos do divisor e do dividendo.
Raiz de 1 Raiz: A raiz de indice n da raiz de indice p de um certo numero e a raiz de indice n.p desse numero.
Raiz de 1 produto e produto de 1 raiz: A raiz de um produto e igual ao produto das raizes do mesmo indice.
Multiplicação de Potencia da mesma base (no caso base -3): O produto de potencia da mesma base é a potencia com a mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dos factores.
Divisão de potencias com a mesma base (base -2): O quociente de potencias com a mesma base é uma potencia com a mesma base e cujo o expoente é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor.
Potencia de expoente fraccionário: Reciprocamente todo o radical é convertivel em potencia de expoente fraccionário.
Potencia de uma potencia: A potencia de uma potencia éoutra potência com a base da 1ª e expoente igual ao produto dos expoentes.
Inversamente/o: Qualquer coefiente ou factor de um radical pode passar pode passar para factor do seu radicando desde que se multiplique o seu expoente pelo indice do radical.
Os Exercicios seguintes 1., 2. e 3. são os mais importantes para a manipulação fluente de potencias e raizes, verifique com atenção a simplicidade das operações:
O proximo exercicio vem demonstrar o porquê das operaçoes entre coeficiente (o nº fora da raiz) e radicando (o nº dentro da raiz) são possiveis.
Quando o expoente da raiz for igual ao expoente do radicando, o radicando coeficiente perdendo de expoente 1.
Raiz de 1 produto e produto de 1 raiz: A raiz de um produto e igual ao produto das raizes do mesmo indice.
Multiplicação de Potencia da mesma base (no caso base -3): O produto de potencia da mesma base é a potencia com a mesma base cujo expoente é a soma dos expoentes dos factores.
Divisão de potencias com a mesma base (base -2): O quociente de potencias com a mesma base é uma potencia com a mesma base e cujo o expoente é a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor.
Potencia de expoente fraccionário: Reciprocamente todo o radical é convertivel em potencia de expoente fraccionário.
Potencia de uma potencia: A potencia de uma potencia éoutra potência com a base da 1ª e expoente igual ao produto dos expoentes.
Inversamente/o: Qualquer coefiente ou factor de um radical pode passar pode passar para factor do seu radicando desde que se multiplique o seu expoente pelo indice do radical.
Os Exercicios seguintes 1., 2. e 3. são os mais importantes para a manipulação fluente de potencias e raizes, verifique com atenção a simplicidade das operações:
Quando o expoente da raiz for igual ao expoente do radicando, o radicando coeficiente perdendo de expoente 1.
Conjuntos numéricos: números naturais e inteiros
1. Números Naturais .
- Adição e subtração .
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de 1 é 2. (d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, .. )
segunda-feira, 17 de março de 2014
Música : até quando .. !
- até quando você, vai querer brincar de amar, será que te dar prazer, fazer alguém chorar .. (88'
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